-
Een functie f heeft de volgende twee eigenschappen:
- f(n) = 1 of f(n) = -1 voor elk geheel getal
n,
- f(m × n) = f(m) ×
f(n) voor alle gehele getallen m en n.
Laat zien dat er een getal a bestaat, 1 a
12, met f(a) = 1 en f(a+1) =
1.
-
Van een vierkant bestaande uit 81 eenheidsvierkanten worden sommige
vierkanten zwart gekleurd en andere vierkanten wit en wel zó, dat van
elke rechthoek die uit 6 eenheidsvierkanten bestaat van de vorm 2 × 3 of 3
× 2 er twee vierkanten zwart zijn en vier wit.
Hoeveel zwarte vierkanten bevat het gehele vierkant? Beredeneer dat er geen
enkel ander antwoord mogelijk is.
-
Gegeven zijn een vierkant ABCD en een lijn l. Het punt
M is het snijpunt van de diagonalen van het vierkant. De lengte van
elk van de diagonalen van het vierkant is 2 en de afstand van M tot
de lijn l is groter dan 1. De hoekpunten A, B, C, D worden op
l geprojecteerd. De projecties zijn respectievelijk A', B', C',
D'. Het vierkant wordt gedraaid om M, waarbij de punten A, B,
C, D meedraaien en hun projecties A', B', C', D' op l
meebewegen.
Bewijs dat de waarde van A'A2 + B'B2 +
C'C2 + D'D2 tijdens het draaien niet verandert.
-
Een 8 x 8-matrix is een getallenschema met 64 getallen ingedeeld in 8
horizontale rijen en 8 verticale kolommen.
De getallen in de matrix mogen gewijzigd worden volgens de volgende twee
spelregels:
- Alle getallen in een rij worden verdubbeld.
- Alle getallen in een kolom worden met 1 verminderd.
Bewijs dat elke 8 x 8-matrix die alleen gehele getallen groter dan 0 bevat
met bovenstaande spelregels te veranderen is in een matrix die alleen nullen
bevat.
-
Bij een niet-negatief geheel getal c wordt de rij a1,
a2, a3, ... gedefinieerd door:
-
- an = n2 + c voor n =
1, 2, 3, ...
Bij deze rij a1, a2, a3, ...
definiëren we een rij d1, d2, d3,
... door:
-
- dn is de grootste gemeenschappelijke deler van
an en an+1.
Voorbeeld met c = 2:
a1 = 3, |
a2 = 6, |
a3 = 11, |
a4 = 18, |
a5 = 27, |
a6 = 38, |
a7 = 51, |
... |
d1 = 3, |
d2 = 1, |
d3 =1, |
d4 = 9, |
d5 = 1, |
d6= 1, |
... |
- a.
- Neem c = 0 en laat zien dat dn = 1 voor
n = 1, 2, 3, ...
- b.
- Neem c = 1 en laat zien dat dn = 1 of
dn = 5 voor n = 1, 2, 3, ...
- c.
- Algemeen: laat zien dat bij elke c de grootste waarde die
voorkomt in de rij d1, d2, d3, ...
gelijk is aan 4c + 1.