1. f(0) = f(0 × n) = f(0) × f(n) voor alle gehele n
   f(n) = f(0) : f(0) = 1 voor alle gehele n
   Elke a groter of gelijk aan 1 en kleiner of gelijk aan 12 heeft dus de gevraagde eigenschap.

   Een andere oplossing is deze:
   f(1) = f(1 × 1) = f(1) × f(1) = (f(1))² = 1. Verder geldt f(4) = (f(2))² = 1 en ook f(9) = (f(3))² = 1. Als f(2) = 1, dan zijn we klaar want dan voldoet a = 1. Dus veronderstel f(2) = -1. Als f(3) = 1 of f(5) = 1 dan zijn we klaar vanwege f(4) = 1. Veronderstel f(3) = f(5) = -1. Maar dan geldt f(10) = f(2) × f(5) = 1 en zijn we klaar omdat f(9) = 1 en a = 9 voldoet.

   ---

2. Elk 3 × 1-rechthoekje is als kolom bevat in een 3 × 3-vierkant, waarvan we de rijen 1, 2 en 3 noemen en de kolommen A, B en C. Als de twee zwarte vierkantjes van de rechthoek A1-B3 (bestaande uit A1, B1, A2, B2, A3, B3) beide in kolom B zouden liggen, dan zou de kolom A geheel wit zijn; maar van rechthoek B1-C3 zou dan ook de kolom C geheel wit zijn. De twee zwarte vierkantjes van zowel rechthoek A1-C2 als van rechthoek A2-C3 zouden dan in kolom B liggen, dus zouden B1, B2 en B3 alle drie zwart moeten zijn, en zou rechthoek A1-B3 drie zwarte vierkantjes moeten bevatten. Omdat dat niet kan, kan kolom B hooguit 1 zwart vierkantje bevatten. Er zijn nu twee mogelijkheden:
   

   i.

   Kolom B bevat geen zwarte vierkantjes. Omdat A1-B3 2 zwarte vierkantjes bevat, bevat kolom A nu 2 zwarte vierkantjes; en kolom C ook. Het 3 × 3-vierkant moet er dan zo uitzien:

   ii.

   Kolom B bevat 1 zwart vierkantje. Omdat A1-B3 2 zwarte vierkantjes bevat, bevat kolom A nu ook precies 1 zwart vierkantje; en kolom C ook. Met een soortgelijke redenering bevatten de rijen 1, 2 en 3 elk ook precies 1 zwart vierkantje.

   Stel dat in het grote 9 × 9-vierkant een 3 × 3-vierkant van het type i. voorkomt en noem dit A1-C3. Dit vierkant grenst aan een ander 3 × 3-vierkant van type i. of ii., zeg dat dit vierkant rechts van A1-C3 ligt en noem het D1-F3. Kolom C bevat 2 zwarte vierkantjes en kolom D 1 of 2, dus C1-D3 bevat nu meer dan 2 zwarte vierkantjes. Dit kan niet dus komen 3 × 3-vierkanten van het type i. niet voor.

   Het hele 9 × 9-vierkant kunnen we bedekken met negen 3 × 3-vierkanten van type ii. die elk 3 zwarte vierkantjes bevatten. In totaal moeten er dus 27 (= 81 : 3) zwarte vierkantjes zijn.
   Tenslotte zie je een voorbeeld van zo'n kleuring in de figuur, waarin elk horizontaal en elk verticaal rijtje van drie vierkantjes precies 1 zwart vierkantje bevat.
   

   ---

   

3. M' is de projectie van M op de lijn l. Projecteer A, B, C en D op de lijn MM'. MA, MB, MC en MD zijn dan de schuine zijden van identieke rechthoekige driehoekjes. De rechthoekszijden van deze driehoekjes zijn evenwijdig aan l of MM'. Noem de lengtes van de rechthoekszijden p en q zoals in de figuur. Er geldt nu:
   (AA' + CC')² = (2MM')²
   (BB' + DD')² = (2MM')²
   (AA' - CC')² = (2q)²
   (BB' - DD')² = (2p)²
   optellen geeft:
   2AA'² + 2BB'² + 2CC'² + 2DD'² = 2MM'² + 4p² + 4q²
   en met p² + q² = AM² (= 1) geldt dat:
   AA'² + BB'² + CC'² + DD'² = 4MM'² + 2AM² en deze waarde is onafhankelijk van de stand van het vierkant.

   ---

4. Noem de matrix A met elementen a_ij.

   Beschouw kolom j. Als alle elementen a_ij gelijk zijn aan 1, maken we ze 0 door kolom j met 1 te verminderen.
   Als niet alle elementen gelijk zijn aan 1, definieer dan k_j als het aantal elementen in kolom j dat gelijk is aan 1 en m_j als het kleinste element groter dan 1 in de kolom. Verdubbel de rijen i waarin wel a_ij = 1 en verminder vervolgens alle getallen in kolom j met 1. Er geldt nu k_j is groter dan voorheen of k_j is gelijk gebleven en m_j is kleiner dan voorheen.
   Herhaal deze stap totdat k_j = 8. (Doordat bij elke stap k_j toeneemt of m_j afneemt en deze waarden respectievelijk 8 en 2 zijn weten we dat dit proces eindigt.)

   Het bovenstaandeproces herhalen we voor iedere kolom. Op de kolommen die al gelijk zijn aan 0 heeft rijverdubbeling geen effect meer. Uiteindelijk hebben we dus een matrix die alleen nullen bevat.

   ---

5. a.

   Bij c = 0 hoort de rij 1, 4, 9, 16, ... Twee opeenvolgende getallen in de rij zijn algemeen n² en (n + 1)². Omdat n en n + 1 maar 1 schelen kunnen ze niet allebei een veelvoud zijn van hetzelfde getal groter dan 1. Dus is de ggd (grootste gemene deler) van n en n + 1 gelijk aan 1. Maar elke priemfactor van n² is ook een priemfactor van n. Dat geldt ook voor (n + 1)². Dus is de ggd van n² en (n + 1)² ook gelijk aan 1.

   b.

   Als n² + 1 een veelvoud is van d en (n + 1)² + 1 is ook een veelvoud van d, dan is hun verschil ook een veelvoud van d. Dus de ggd van n² + 1 en (n + 1)² + 1 is ook een deler van n² + 1 en 2n + 1 (= (n + 1)² + 1 - (n² + 1)). Een deler van n² + 1 en 2n + 1 is ook weer een deler van 2n + 1 en n(n - 2) want n² + 1 - (2n + 1) = n² - 2n. Blijft over de vraag: wat zijn de delers van n(n - 2) en 2n + 1?

   Een priemfactor van n(n - 2) is een priemfactor van n of van n - 2. Een priemfactor van n en 2n + 1 is ook een priemfactor van n en n + 1 (= 2n + 1 - n) en kan dus weer alleen maar 1 zijn. Een priemfactor van n - 2 en 2n + 1 is ook een priemfactor van n - 2 en n + 3 (= 2n + 1 - (n - 2)). Omdat het verschil van deze twee getallen 5 is zijn de enige mogelijkheden 1 en 5. Een priemfactor van n² + 1 en (n + 1)² + 1 kan dus 1 of 5 zijn en dat geldt daarmee ook voor de ggd.

   Bij c = 1 hoort de rij 2, 5, 10, 17, ... en je ziet dat d₁ = 1 en d₂ = 5.

   c.

   De ggd van n² + c en (n + 1)² + c is ook een deler van n² + c en 2n + 1 (= (n + 1)² + c - (n² + c)) en dus ook van 2n + 1 en n² - 2cn (= n² + c - c × (2n + 1)).

   Een priemfactor van n(n - 2c) is een priemfactor van n of van n - 2c. Een priemfactor van n en 2n + 1 is ook een priemfactor van n en n + 1 (= 2n + 1 - n) en kan dus weer alleen maar 1 zijn. Een priemfactor van n - 2c en 2n + 1 is ook een priemfactor van n - 2c en n + 2c + 1 (= 2n + 1 - (n - 2c)). Omdat het verschil van deze twee getallen 4c + 1 is zijn de enige mogelijke priemfactoren delers van 4c + 1. De grootste deler die dus voor kan komen als deler van n - 2c en n + 2c + 1 en dus van n² + c en (n + 1)² + c is 4c +1.

   Neem n = 2c, dan is a_n = 4c² + c = c(4c + 1) en a_n+1 = 4c² + 4c + 1 + c = (c + 1)(4c + 1), dus de deler 4c + 1 komt voor. De maximale waarde die voorkomt in de rij d₁, d₂, d₃,... is gelijk aan 4c +1.

Terug naar startpagina