Nederlandse Wiskunde Olympiade: Voorbeeld Problemen

Je hebt 2007 kaarten.
Op elke kaart is een positief geheel getal kleiner dan 2008 geschreven.
Als je een aantal (minstens 1) van deze kaarten neemt,
is de som van de getallen op de kaarten niet deelbaar door 2008.
Bewijs dat op elke kaart hetzelfde getal staat.

Het getal M bestaat uit 2007 enen achter elkaar geschreven,
M = 111...111.
Wat is de som van de cijfers van het getal
dat je krijgt als je M vermenigvuldigt met 2007?

Binnen een vierkant ABCD ligt een punt P.
E is het midden van de zijde CD.
Gegeven is: AP=BP=EP=10.
Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?

a₁, a₂, a₃, a₄ en a₅ zijn vijf verschillende reële getallen.
Het aantal verschillende waarden dat de som a_i+a_j kan
aannemen noemen we m.
Bepaal de kleinst mogelijke waarde van m.

Laat a₁, a₂, ... een rij gehele getallen zijn die zowel oneindig
veel positieve als oneindig veel negatieve termen bevat.
Veronderstel dat voor elk positief geheel getal n
de getallen a₁, a₂, ..., a_n bij deling door n
precies n verschillende resten geven.
Bewijs dat ieder geheel getal precies één keer in de rij voorkomt.