1. a.

   Bijvoorbeeld: 9, 3, 1, 7, 4, 2, 6, 5, 0, 8 .

   b.

   De som van de getallen 0, 1,..., 9 is 45. Stel dat er wel zo'n rijtje bestaat, dan kan de som van de getallen op twee verschillende manieren geteld worden:

   x x x   x x x   x x x   x 
    12  +  12  + 12  + 9 = 45
            36         + 9 = 45
   

   Dus het getal op de laatste positie moet gelijk zijn aan 9.

   x     x x x   x x x   x x x
   9 +   12  + 12  +  12  = 45
   9 +          36          = 45
   

   Dus het getal op de eerste positie moet ook gelijk zijn aan 9. Maar omdat elk getal slechts één keer in het rijtje mag voorkomen levert dit een tegenspraak op. Zo'n rijtje met M = 12 bestaat dus niet.

   ---

2. Veronderstel dat ABT gelijkzijdig is. Dan ligt de top van de piramide in het vlak dat loodrecht staat op ribbe AB en dat door het midden van AB gaat. Voor de rechthoekige driehoek als zijvlak zijn er dan twee verschillende mogelijkheden: BCT is rechthoekig (en dan ook ADT vanwege symmetrie) of CDT is rechthoekig.

   i.

   Driehoek BCT is rechthoekig. En omdat BT = BA = BC is de driehoek gelijkbenig. Dus staat BC loodrecht op BT. Analoog geldt ook dat AD loodrecht staat op AT en dus ook BC ABT en dus ATB ABCD. De inhoud van de piramide is dan 1/3 × 4² × 2 3 = 32/3 3.

   ii.

   Driehoek CDT is rechthoekig. Omdat T in het vlak dat loodrecht staat op ribbe AB en dat door het midden van AB gaat ligt geldt ook TC=TD en dus is CDT ook gelijkbenig. Noem het midden van AB M en het midden van CD N. Dan geldt voor de MNT: MN = 4, NT = 2 en MT = 23. Dus is MNT rechthoekig in T. Omdat MNT loodrecht op het grondvlak staat is de hoogte van de piramide gelijk aan de lengte van de hoogtelijn uit T in MNT. Daarvoor geldt: lengte × 4 = 2 × 23 en dus is de lengte gelijk aan 3. De inhoud van de piramide is nu gelijk aan 1/3 × 4² × 3 = 16/3 3.

   ---

3. Omdat het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van m en n een 27-voud is, moet minstens één van de getallen een 27-voud zijn. Omdat het verschil m-n ook een 27-voud is (189 = 3³ × 7), moeten beide getallen een 27-voud zijn.

   Noem m = 27 × p en n = 27 × q, dan geldt voor p en q: p-q = 7 en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van p en q is gelijk aan 2 × 37 × 67. Omdat p-q = 7 kunnen p en q alleen 7 en 1 als gemeenschappelijke deler hebben, maar omdat 7 geen factor is van het kleinste gemeenschappelijke veelvoud hebben p en q alleen 1 als gemeenschappelijke deler. Dus geldt p × q = 2 × 37 × 67. Er moet dus gelden: p = 2 × 37 = 74 en q = 67.

   De enige oplossing is: m = 1998 en n = 1809.

   ---

4. a.

   Noem het snijpunt van de diagonalen E, dan geldt:
   AB² = AE² + BE² en CD² = CE² + DE² en ook
   BC² = BE² + CE² en DA² = DE² + AE² en dus
   AB² + CD² = BC² + DA².

   b.

   Veronderstel dat QS en PR niet loodrecht op elkaar staan. Dan zijn de projecties op QS van P en R twee verschillende punten, noem ze X en Y.

   Uit PQ² + RS² = QR² + SP² volgt
   (PX² + QX²) + (RY² + SY²) = (QY² + RY²) + (SX² + PX²), dus
   QX² + SY² = QY² + SX².

   We bekijken nu twee gevallen: als X dichter bij S ligt dan Y, dan QX>QY en SY>SX en dus
   QX² + SY² > QY² + SX².
   Als Y dichter bij S ligt dan X, dan QX < QY en SY < SX en dus
   QX² + SY² < QY² + SX².

   De beide gevallen leiden tot tegenspraak en de conclusie is dan ook X = Y; de diagonalen staan loodrecht op elkaar.

   ---

5. Noem y:=x + 1998, dan gaat de vergelijking over in:

   (y - 3)(y - 1)(y + 1)(y + 3) + 16 = 0
   (y² - 9)(y² - 1) + 16 = 0
   y⁴ - 10y² + 25 = 0
   (y² - 5)² = 0
   y² = 5
   y = +/- 5

   De oplossingen van de vergelijking zijn dus:
   x = -1998 -5 en x = -1998 +5.

Terug naar startpagina