x y z x y z x y z x y z x y z . . . x y z x y z x y z 1 1 178 2 2 176 3 3 174 4 4 172 5 5 170 . . . 58 58 64 59 59 62 60 60 60 1 2 177 2 3 175 3 4 173 4 5 171 5 6 169 . . . 58 59 63 59 60 61 1 3 176 2 4 174 3 5 172 4 6 170 5 7 168 . . . 58 60 62 1 4 175 2 5 173 3 6 171 4 7 169 5 8 167 . . . 58 61 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 88 91 2 88 90 3 87 90 4 87 89 5 86 89 . . . 1 89 90 2 89 89 3 88 89 4 88 88 5 87 88 . . . 89 88 86 85 83 .. 4 2 1 \ / \ / \ / \ / \ / 177 171 165 .. 9 3Totaal dus 3 + 9 + 15 + ... + 171 + 177 = 2700, want voor twee maal de som geldt:
3 + 9 + 15 + ... + 165 + 171 + 177 177 + 171 + 165 + ... + 15 + 9 + 3 180 + 180 + 180 + ... + 180 + 180 + 180 = 30 x 180 = 5400
Uit het gegeven volgt direct: z ( x + y ) = x y ... (*).
Voor een priemgetal p dat een deler is van x + y geldt volgens (*) dat p ook een deler is van x y, dus moet volgens de hulpstelling p een deler van x en een deler van y zijn. Dus p² is een deler van x y. Omdat p al een deler van x en y is, kan p geen deler van z zijn, want x, y en z hebben geen gemeenschappelijke deler groter dan 1. Dus volgt uit (*) dat p² een deler is van x + y. Als p een priemdeler van x + y is dan is p² ook een deler van x + y.
x + y bevat dus geen priemfactoren tot de macht 1.
Rest nog te bewijzen dat alleen even machten van een priemfactor in x + y kunnen voorkomen.
Stel dat behalve de factor p² nog een factor p in x + y voorkomt. Noem nu x = p x' en y = p y' dan volgt uit (*):
(x + y) (x' + y') z ------- = z --------- = x' y' p² pVolgens veronderstelling geldt nu p is een deler van
(x' + y') --------- pdus p is een deler van x' y'. Omdat p een deler van ( x' + y' ) is, geldt nu ook weer dat p een deler van x' is dan en slechts dan als p ook een deler is van y' is, zodat p² een deler van x' y' is dus ook een deler van
(x' + y') --------- pofwel p4 is een deler van x + y. Zo kunnen we doorgaan voor hogere machten van p. Conclusie: x + y kan dus alleen even machten van priemgetallen bevatten en is dus een kwadraat.