1. Bij sprong A is de verplaatsing in de x-richting +1, bij sprong B -2.
   Bij sprong A is de verplaatsing in de y-richting +3, bij sprong B -4.
   Noem het aantal A-sprongen a en het aantal B-sprongen b, met als voorwaarde dat a en b niet negatief en geheel moeten zijn!

   a.

   Van (0,0) naar (19,95) moet de verplaatsing in x-richting +19 en in de y-richting +95 zijn. Dan moet gelden: a - 2b = 19 en 3a - 4b = 95. Dit levert: b = 19 en a = 57. Dit is een oplossing omdat beide getallen geheel en niet negatief zijn! Merk op dat de volgorde waarin gesprongen wordt er niet toe doet, als er maar 57 A-sprongen en 19 B-sprongen gedaan worden dan zit de kangoeroe in (19,95).

   b.

   Van (0,0) naar (18,95) krijgen we de vergelijkingen a - 2b = 18 en 3a - 4b = 95 met als oplossing a = 59 en b = 20½, dus geen oplossing in aantallen sprongen!

   c.

   Van (0,0) naar (m,n) geeft de vergelijkingen a - 2b = m en 3a - 4b = n met als oplossing a = n - 2m en b = (n - 3m) / 2. Omdat a en b geheel en niet negatief moeten zijn, zijn alleen punten (m,n) te bereiken met m en n beide even of m en n beide oneven; verder moet gelden n - 2m 0 en n - 3m 0 dus n 3m. Het zijn de punten:
   (0,2), (0,4), (0,6), ..., (1,3), (1,5), (1,7), ..., (2,6), (2,8), ...

   ---

   

2. Verleng AQ en BR en noem het snijpunt S. S is onafhankelijk van de keuze van P. Nu is vierhoek RPQS altijd een rechthoek met M het midden van QR. Omdat de diagonalen in een rechthoek elkaar midden door delen is M ook het midden van SP. Als P dus het lijnstuk AB doorloopt, dan doorloopt M het lijnstuk dat de middens van AS en BS verbindt (de middenparallel van driehoek ABS).
   

   ---

3. Noem het aantal knikkers in bak A a; in bak B zitten dan 101 - a knikkers. Noem de som van getallen op de knikkers in bak A S; de som van de getallen op de knikkers in bak B is dan 101 × 51 - S (want 1 + 2 + 3 + ... + 101 = 101 × 51). De gemiddelden in bak A en B zijn respectievelijk

   S        101 × 51 - S
   -   en   ------------
   a          101 - a
   

   Na het verplaatsen van balletje 40 van A naar B zijn de gemiddelden:

   S - 40        101 × 51 - S + 40
   ------   en   -----------------
   a - 1            101 - a + 1
   

   Beide gemiddelden zijn met een kwart gegroeid, dus we krijgen de twee volgende vergelijkingen:

   S   1   S - 40      101 × 51 - S   1   101 × 51 - S + 40
   - + - = ------  en  ------------ + - = -----------------
   a   4   a - 1         101 - a      4      101 - a + 1
   

   De eerste vergelijking geeft

       a (a + 159)
   S = -----------
            4
   

   en de tweede

       a² - 43 a + 14746
   S = -----------------
               4
   

   Uit a² + 159 a = a² - 43 a + 14746 volgt 202 a = 14746 dus a = 73 met S = 4234.

   ---

4. Beschouw een bovenaanzicht van een stukje van de stapel waarbij 4 bollen in een laag liggen met een bol daar bovenop, zie de linker figuur. Bekijk het vertikale vlak door de middelpunten M₁, M₃ en M₅. Omdat de bollen elkaar raken is M₁M₃ = 22 en M₁M₅ = 2 = M₃M₅, dus driehoek M₁M₃M₅ is rechthoekig gelijkbenig. De hoogte van een stapel van 4 bollen plus 1 bol is dus gelijk aan 1 + 2 + 1.
   De hoogte van een stapel van 9 bollen plus 4 plus 1 is dus gelijk aan 1 + 22 + 1.
   De hoogte van een stapel bestaande uit n lagen is: 1 + (n - 1) 2 + 1 = 2 + (n - 1) 2.

   

   ---

5. a.

   Neem bijvoorbeeld a₁ = a₂ = ... = a₁₂ = 1 en a₁₃ = 11.
   Laten we a₁₃ weg dan kunnen we de overige getallen verdelen in twee groepjes van ieder zes getallen met som 6. Laten we een van de a_i met i<13 weg dan hebben van de resterende twaalf getallen er elf de waarde 1 en één de waarde 11. We kunnen dus weer twee groepjes vormen met gelijke som.

   b.

   Laat S de som zijn van alle getallen a_i in het rijtje. Voor iedere i geldt: de resterende som S - a_i is te verdelen in twee gelijke gehele delen, en is dus even. Hieruit volgt direct: als S even is, dan zijn alle a_i even; als S oneven is, dan zijn alle a_i oneven.

   c.

   Laat (a₁, a₂, ..., a₁₃) een turbo tam rijtje zijn. Gemakkelijk is in te zien dat dan ook (0, a₂-a₁, a₃-a₁, ..., a₁₃-a₁) een (turbo) tam rijtje is, immers gelijke sommen van zes getallen bij het oorspronkelijke rijtje geven na aftrekking van 6a₁ gelijke sommen van zes getallen bij het tweede rijtje. Het tweede rijtje bevat een even getal (0) en dus volgt uit b) dat alle getallen even zijn.
   Stel nu dat het tweede rijtje een getal ongelijk aan 0 bevat. We kunnen alle getallen door 2 delen en verkrijgen zo een nieuwe (turbo) tam rijtje met als eerste getal 0. We delen net zo vaak door 2 tot we een (turbo) tam rijtje hebben met een oneven getal. Dit rijtje bevat dan zowel een even getal (het eerste: 0) als een oneven getal. Dit is in tegenspraak met b). Alle getallen in het tweede rijtje zijn dus gelijk aan 0, en dat betekent a₁ = a₂ = ... = a₁₃.

Terug naar startpagina