De onderstaande tabel is als volgt gemaakt:
Door alleen regel 1 (an+1 = 2 an-1) toe te passen krijgen we de eerste twee kolommen: 2, 4, 8, 16, ... met 3, 6, 12, 24, ... Die vormen samen een mogelijke rij: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, ... Door eerst een keer regel 2 toe te passen krijg je a2 = 5 als derde term; daarna alleen weer regel 1 levert een rij die bestaat uit de twee kolommen 3, 6, 12, 24, ... en 5, 10, 20, 40, ... Door regel 2 eerst twee maal toe te passen krijg je als beginrij 2, 3, 5, 9. Als je daarna weer alleen regel 1 toepast krijg je eer rij die verder bestaat uit de kolommen 5, 10, 20, 40, ... en 9, 18, 36, 72, ...
Op deze manier krijg je de getallen die in het schema staan. Voor twee opeenvolgende termen van de zo geconstrueerde rijen geldt dat ze altijd schuin onder elkaar staan.
Rest te bewijzen dat als we tussentijds ergens regel 2 toepassen er geen nieuwe getallen kunnen ontstaan. Dat zou wel eens kunnen gebeuren! We bewijzen dat dat niet mogelijk is. Er zijn drie gevallen mogelijk die we eerst aan de hand van voorbeelden verduidelijken:
- 1:
- Neem bijvoorbeeld a10 = 136 en a11 = 144, dan geldt a12 = 3 × 144 - 2 × 136 = 160 en dat is precies het getal dat weer schuin links onder 144 staat!
- 2:
- Neem bijvoorbeeld a10 = 136 en a11 = 264, dan geldt a12 = 3 × 264 - 2 × 136 = 520 en dat is precies het getal dat weer schuin rechts onder 264 staat!
- 3:
- Neem bijvoorbeeld a11 = 96 en a12 = 128, dan geldt a13 = 3 × 128 - 2 × 96 = 192 en dat is precies het getal dat weer schuin rechts onder 128 staat!
In elk van de gevallen vinden we dus weer twee opeenvolgende getallen die schuin onder elkaar staan.
Nu algemeen: Eerst laten we zien dat elk getal in het schema de som van twee machten van 2 is. Bekijk alleen de rij 2, 3, 5, 9, 17, ...
a0 = 1 + 1 (= 20 + 20), a1 = 2 + 1, a2 = 4 + 1, a3 = 8 + 1 etc.
Algemeen: als ak = 2k + 1 en ak-1 = 2k-1 + 1 dan volgt uit regel 2 direct
ak+1 = 3 × (2k + 1) - 2 × (2k-1 + 1) = 2 × 2k + 1 = 2k+1 + 1
Uit de opbouw van de tabel met regel 1 volgt direct dat a2n = 2n + 2n of 2n + 2n-1 of 2n + 2n-2 of ... of 2n + 20. Voor a2n+1 geldt een soortgelijk verhaal, dat begint alleen met a2n+1 = 2n+1 + 2n.
Algemeen geval 1: 3 × (2p+1 + 2q-1) - 2 × (2p + 2q) = 2p+2 + 2q-2 voor p > q > 1
Algemeen geval 2: 3 × (2p+1 + 2q) - 2 × (2p + 2q) = 2p+2 + 2q voor p > q > 1
Algemeen geval 3: 3 × (2p + 2p-1) - 2 × (2p + 2p) = 2p+1 + 2p voor p 1
Conclusie: alleen de getallen in het schema kunnen voorkomen. Dus geen getallen tussen 1600 en 2000.
a0 2
a1 3
a2 4 5
a3 6 9
a4 8 10 17
a5 12 18 33
a6 16 20 34 65
a7 24 36 66 129
a8 32 40 68 130 257
a9 48 72 132 258 513
a10 64 80 136 260 514 1025
a11 96 144 264 516 1026 2049
a12 128 160 272 520 1028 2050
a13 192 288 528 1032 2052
a14 256 320 544 1040 2080
a15 384 576 1056 2064
a16 512 640 1088 2080
a17 768 1152 2112
a18 1024 1280 2176
a19 1536 2304
a20 2048 2560
a21 3072