Nederlandse Wiskunde Olympiade - Oplossingen 1994

NEDERLANDSE

WISKUNDE

OLYMPIADE



Oplossingen tweede ronde
16 september 1994

  1. Zie de tekening. De lijn EF geeft de gewenste verdeling; rechthoek PQRS is congruent aan BCFE. Rechthoek PQ'RS' is het spiegelbeeld van PQRS in de diagonaal PR; Q' ligt op DF, S' ligt op AE. Rechthoek PS'RQ' staat centraal in de rechthoek AEFD.
    Noem FC = x, dan is RQ = RQ' = x, DF = 1 - x en DQ' = RF = ½ - x. Noem verder RT = y, dan is S'T = 1 - y en ook QT = 1 - y.

    Omdat de driehoeken FRQ en GTR gelijkvormig zijn geldt

    RF   TQ           ½ - x   1 - y
    -- = --   en dus  ----- = -----
    RQ   TR             x       y
    
    Hieruit volgt y = 2 x. Maar dat betekent dat driehoek QRT een tekendriehoek is met QRT = 60°. Dan is FRQ = 30° en RF = ½3 RQ. Uit ½ - x = ½3 x volgt tenslotte x = 2 - 3.


  2. De onderstaande tabel is als volgt gemaakt:
    Door alleen regel 1 (an+1 = 2 an-1) toe te passen krijgen we de eerste twee kolommen: 2, 4, 8, 16, ... met 3, 6, 12, 24, ... Die vormen samen een mogelijke rij: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, ... Door eerst een keer regel 2 toe te passen krijg je a2 = 5 als derde term; daarna alleen weer regel 1 levert een rij die bestaat uit de twee kolommen 3, 6, 12, 24, ... en 5, 10, 20, 40, ... Door regel 2 eerst twee maal toe te passen krijg je als beginrij 2, 3, 5, 9. Als je daarna weer alleen regel 1 toepast krijg je eer rij die verder bestaat uit de kolommen 5, 10, 20, 40, ... en 9, 18, 36, 72, ...
    Op deze manier krijg je de getallen die in het schema staan. Voor twee opeenvolgende termen van de zo geconstrueerde rijen geldt dat ze altijd schuin onder elkaar staan.
    Rest te bewijzen dat als we tussentijds ergens regel 2 toepassen er geen nieuwe getallen kunnen ontstaan. Dat zou wel eens kunnen gebeuren! We bewijzen dat dat niet mogelijk is. Er zijn drie gevallen mogelijk die we eerst aan de hand van voorbeelden verduidelijken:
    1:
    Neem bijvoorbeeld a10 = 136 en a11 = 144, dan geldt a12 = 3 × 144 - 2 × 136 = 160 en dat is precies het getal dat weer schuin links onder 144 staat!
    2:
    Neem bijvoorbeeld a10 = 136 en a11 = 264, dan geldt a12 = 3 × 264 - 2 × 136 = 520 en dat is precies het getal dat weer schuin rechts onder 264 staat!
    3:
    Neem bijvoorbeeld a11 = 96 en a12 = 128, dan geldt a13 = 3 × 128 - 2 × 96 = 192 en dat is precies het getal dat weer schuin rechts onder 128 staat!
    In elk van de gevallen vinden we dus weer twee opeenvolgende getallen die schuin onder elkaar staan.
    Nu algemeen: Eerst laten we zien dat elk getal in het schema de som van twee machten van 2 is. Bekijk alleen de rij 2, 3, 5, 9, 17, ...
    a0 = 1 + 1 (= 20 + 20), a1 = 2 + 1, a2 = 4 + 1, a3 = 8 + 1 etc.
    Algemeen: als ak = 2k + 1 en ak-1 = 2k-1 + 1 dan volgt uit regel 2 direct
    ak+1 = 3 × (2k + 1) - 2 × (2k-1 + 1) = 2 × 2k + 1 = 2k+1 + 1
    Uit de opbouw van de tabel met regel 1 volgt direct dat a2n = 2n + 2n of 2n + 2n-1 of 2n + 2n-2 of ... of 2n + 20. Voor a2n+1 geldt een soortgelijk verhaal, dat begint alleen met a2n+1 = 2n+1 + 2n.
    Algemeen geval 1: 3 × (2p+1 + 2q-1) - 2 × (2p + 2q) = 2p+2 + 2q-2 voor p > q > 1
    Algemeen geval 2: 3 × (2p+1 + 2q) - 2 × (2p + 2q) = 2p+2 + 2q voor p > q > 1
    Algemeen geval 3: 3 × (2p + 2p-1) - 2 × (2p + 2p) = 2p+1 + 2p voor p 1

    Conclusie: alleen de getallen in het schema kunnen voorkomen. Dus geen getallen tussen 1600 en 2000.

    a0      2
    a1           3
    a2      4         5
    a3           6         9
    a4      8        10        17
    a5          12        18        33
    a6     16        20        34        65
    a7          24        36        66       129
    a8     32        40        68       130       257
    a9          48        72       132       258       513
    a10    64        80       136       260       514      1025
    a11         96       144       264       516      1026      2049
    a12   128       160       272       520      1028      2050
    a13        192       288       528      1032      2052
    a14   256       320       544      1040      2080
    a15        384       576      1056      2064
    a16   512       640      1088      2080
    a17        768      1152      2112
    a18  1024      1280      2176
    a19       1536      2304
    a20  2048      2560
    a21       3072
    


  3. a.
    (n + 1)³ - n³ = 3n² + 3n + 1  en  n³ - (n - 1)³ = 3n² - 3n + 1

    dus  6n = (n + 1)³ - n³ - n³ + (n - 1)³

    b.
    Elk geheel getal is een 6-voud, een 6-voud ± 1, een 6-voud ± 2 of een 6-voud + 3. Bij a) is al bewezen dat elk 6-voud te schrijven is als de som van vier derde machten. Door voor het 5e getal ± 1 te kiezen is het bewijs rond voor 6-vouden ± 1, door voor het 5e getal ± 2 te kiezen is het bewijs rond voor 6-vouden ± 8, dus voor 6-vouden ± 2, en door voor het 5e getal 3 te kiezen is het bewijs rond voor 6-vouden + 27, dus voor 6-vouden + 3 (bij een 6-voud neem je natuurlijk 0 als vijfde getal).


  4. Trek AC en PH. Het snijpunt van AC en BD noemen we M. De driehoeken BPH en BMC zijn allebei gelijkbenig, met dezelfde basishoek B. Dus BPH = BMC en daaruit volgt dat AC evenwijdig is aan PH.
    Dit betekent dat Opp(PHA) = Opp(PHC). Door van beide oppervlakten Opp(PHQ) af te trekken vind je: Opp(PQA) = Opp(HQC).




  5. x = 0 levert: | c | 1     (1)
    x = 1 en x = -1 leveren: | a + b + c | 1 en | a - b + c | 1
    Uit deze twee ongelijkheden volgt | a | 1 - | b | - | c |     (2)
    ( want uit | a + c + b | 1 en | a + c - b | 1 volgt | a + c | + | b | 1 en er geldt | a | - | c | | a + c | )

    Bekijk nu c x² + b x + a en onderscheid twee gevallen:

    1.
    Er is geen extreem op (-1,1). Er zijn dus randextremen in x = 1 en x = -1. Voor die extremen geldt: | c + b + a | 1 en | c - b + a | 1.
    2.
    Er is wèl een extreem op (-1,1) en de waarde van dat extreem is absoluut genomen groter dan de waarde in x = 1 en x = -1 (anders duidelijk). Dat extreem ligt bij
        -b        | -b |
    x = --   dus  | -- |  1.    (3)
        2c        | 2c |
    
    De waarde van dat extreem is absoluut genomen:
    ||
    | a - -- |
    |     4c |
    
    Bij de volgende afschatting worden (3), (2) en (1) gebruikt:
    ||          ||          | b |
    | a - -- |  | a | + | -- |  | a | + | - |
    |     4c |          | 4c |          | 2 |
    
                                    | b |
                1 - | b | + | c | + | - |
                                    | 2 |
    
                1 + | c |  2
    

Naar de opgaven

Terug naar startpagina