1. Als je probeert een deelverzameling te kiezen waarbij geen enkel tweetal getallen als product een kwadraat oplevert dan kun je van

   1)

   de kwadraten 1, 4, 9, 16, 25 er maar hoogstens één gebruiken, zodat je dus minstens vier van deze vijf getallen moet weglaten;

   2)

   elk van de tweetallen (3,12), (5,20), (6,24) maar hoogstens één gebruiken, zodat je dus minstens drie van deze zes getallen moet weglaten;

   3)

   het drietal 2, 8, 18 er maar hoogstens één gebruiken, zodat je dus minstens twee van deze drie getallen moet weglaten.

   In totaal moet je dus minstens 4+3+2=9 getallen weglaten, zodat er dus hoogstens 16 getallen in zo'n deelverzameling kunnen zitten. Daarmee is b) bewezen. Een voorbeeld van zo'n deelverzameling met 16 getallen is
   {1,2,3,5,6,7,10,11,13,14,15,17,19,21,22,23}

   ---

   

2. Laat H het spiegelbeeld zijn van A bij spiegeling in D. Noem de lengte van AH x. We gebruiken drie maal de gelijkvormigheid van twee driehoeken.

    AEP ~  HCP met verhouding 1:4, dus AP = 1/5 x;

    AFQ ~  HCQ met verhouding 2:4, dus AP = 1/3 x;

    AGR ~  HCR met verhouding 3:4, dus AP = 3/7 x;

   Hieruit volgt

        1     1      2             3     1      2      
   PQ = - x - - x = -- x  en  PQ = - x - - x = -- x
        3     5     15             7     3     21      
   

   zodat PQ : QR = 2/15 : 2/21 = 7 : 5.

   Opmerking: Het gegeven dat A = 90° is overbodig. ABHC is altijd een parallellogram en dat is voldoende voor de berekening van de verhouding.

   ---

3.            1      1
   Uit un+1 = - un + - un-1
              2      2
   
                     1      1                       1
   volgt un+1 = un - - un + - un-1 en un+1 - un = - - (un - un-1) 
                     2      2                       2
   

   Het verschil tussen twee opeenvolgende termen wordt dus telkens met een factor -½ vermenigvuldigd. Het verschil tussen de tweede en eerste term is b-a, het verschil tussen de derde en tweede term is -½(b-a), tussen de vierde en derde term ¼(b-a). Met die kennis kunnen we een algemene term van de rij opschrijven:

                    1   1   1            1  k-2
   a + (b - a) (1 - - + - - - + ... + (- - )    )  voor  k  2.
                    2   4   8            2
   

   De limiet van de rij kunnen we dus vinden m.b.v. de limiet van de reeks 1 - ½ + ¼ - ...
   Die limiet is gelijk aan 2/3 ^*.
   Dus de limiet van de rij wordt a + 2/3 (b-a) = 1/3 a + 2/3 b.

                                       1-rk+1
   * 1 + r + r2 + r3 + r4 + ... + rk = -----
                                        1-r
   

   Bewijs: vermenigvuldig met 1 - r. De limiet van de somrij bestaat als de limiet van r^k+1 bestaat als k naar oneindig gaat. Voor r = -½ bestaat die limiet (=0) en is de limiet van de somrij 1 / (1-r). Invullen van r = -½ geeft 2/3.

   ---

4. a.

   P, A, B en M liggen in een vlak. De cosinusregel toepassen in de twee driehoeken AMP en BMP levert:
   AP² = AM² + MP² - 2 AM MP cos AMP
   BP² = BM² + MP² - 2 BM MP cos BMP
   en omdat AMP + BMP = 180° geldt cos AMP = -cos BMP.
   Optellen geeft als resultaat: AP² + BP² = AM² + BM² + 2 MP² dus constant omdat AM, BM en MP een constante lengte hebben.

   b.

   Omdat voor elk punt P op de bol geldt AP² + BP² = AM² + BM² + 2 MP² en AM en BM een vaste waarde hebben, vinden we dus een minimum voor de uitdrukking bij een minimale lengte van MP. Dus moet P het snijpunt zijn van de bol met het verbindingslijnstuk van M met het middelpunt van de bol.

   ---

5. Voor het gemak leggen we de punten geordend op de lijn met P₁P₁₁=1.
   
   We schrijven de som van al de mogelijke afstanden op een speciale manier uit, waarbij we soms de precieze waarde kunnen geven en soms een afschatting moeten maken.

   P1P2 + P2P3 + P3P4 + ... + P9P10 + P10P11 = 1
           P1P3 + P3P5 + P5P7 + P7P9 + P9P11 = 1
                  P2P4 + P4P6 + P6P8 + P8P10 < 1
                         P1P4 + P4P7 + P7P10 < 1
                         P2P5 + P5P8 + P8P11 < 1
                                 P3P6 + P6P9 < 1
                                 P1P5 + P5P9 < 1
                                P2P6 + P6P10 < 1
                                P3P7 + P7P11 < 1
                                        P4P8 < 1
                                P1P6 + P6P11 = 1
   

   Bovenstaande 36 afstanden zijn samen korter dan 11.
   De 19 afstanden die overblijven zijn onderling niet te combineren. Ze worden elk apart afgeschat: alle zijn kleiner dan 1 behalve P₁P₁₁ die gelijk aan 1 is, dus alle 19 samen afgeschat: < 19. Voor alle afstanden geldt dus dat ze samen kleiner zijn dan 30.
   De som is zo dicht bij 30 te krijgen als je maar wilt door P₁ t/m P₅ erg dicht bij elkaar de kiezen en op een afstand van bij 1 P₆ t/m P₁₁ ook erg dicht bij elkaar.

Terug naar startpagina