Nederlandse Wiskunde Olympiade - Oplossingen 1992

NEDERLANDSE

WISKUNDE

OLYMPIADE



Oplossingen tweede ronde
18 september 1992

  1. Met vier dobbelstenen zijn 64 even waarschijnlijke mogelijkheden. Product 36 is als volgt te krijgen:
    6 6 1 1   6 mogelijke schikkingen
    6 3 2 1  24 mogelijke schikkingen
    4 3 3 1  12 mogelijke schikkingen
    3 3 2 2   6 mogelijke schikkingen
    


  2. Totaal dus 48 van de 1296 oftewel een kans van 1 op 27.
    ADA
    --- = .SNELSNEL....
    KOK 
    
    10000 maal de breuk - de breuk levert:
           ADA             ADA   SNEL
    9999 × --- = SNEL, dus --- = ----
           KOK             KOK   9999
    
    De factoren van 9999 zijn 3 × 3 × 11 × 101 = 9999.
    De noemer is dus 101, 303 of 909. Omdat de breuk kleiner dan 1 is valt 101 af. 909 als noemer valt ook af omdat in dat geval geldt: (9999 / 909) × ADA = SNEL met 9999 / 909 = 11 en 11 × ADA = SNEL betekent dat L=A wat niet mag. Dus is de noemer gelijk aan 303 en dus 33 × ADA = SNEL. De A kan weer niet gelijk aan 1 zijn want dan moet L 3 zijn, wat niet mag omdat de K 3 is. A moet dus 2 zijn omdat de breuk kleiner dan 1 is. Omdat de teller geen factor 3 mag bevatten (en geen cijfer 0, 2, 3) vallen 202 , 222, 252 en 282 af. Door proberen van 212, 242, 262, 272 en 292 blijkt dat 242 de enige mogelijke oplossing is: 242 / 303 = .79867986....


  3. Een aantal keren de cosinusregel toepassen levert:
    (i)  a2 = b2 + c2 - 2 b c cos 
    
         d2 = b2 + c2 - 2 b c cos ( - ) 
    (ii)    = b2 + c2 + 2 b c cos 
    
    Optellen van (i) en (ii) levert a² + d² = 2 b² + 2 c². Op eenzelfde manier vinden we b² + e² = 2 c² + 2 a² en c² + f² = 2 a² + 2 b². Optellen van deze drie uitdrukkingen levert het gewenste resultaat.


  4. Door uitschrijven is snel te zien dat voor een even getal als 1992 geldt:
            1992 x 1990 x 1988 x ... x 6 x 4 x 2
    1992? = ------------------------------------
            1991 x 1989 x 1987 x ... x 5 x 3 x 1
    
    en dus ook na kwadrateren:
               19922 x 19902 x 19882 x ... x 62 x 42 x 22
    (1992?)2 = ------------------------------------------
               19912 x 19892 x 19872 x ... x 52 x 32 x 12
    
               19922      19902         19882              42      22
             = ----- x ----------- x ----------- x ... x ----- x -----
               1991    1991 x 1989   1989 x 1987         5 x 3   3 x 1
    
                      1992
             > 1992 x ----
                      1991
    
             > 1992
    
    omdat
         n2
    ----------- > 1
    (n+1) (n-1)
    
    Worteltrekken levert:  1992? > 1992
    Op eenzelfde manier vinden we weer na kwadrateren:
                      1992 x 1990   1990 x 1988          6 x 4   4 x 22
    (1992?)2 = 1992 x ----------- x ----------- x  ... x ----- x -----
                         19912         19892               52      32
    
                      16
             < 1992 x --
                       9
    
    omdat
    (n+1) (n-1)
    ----------- < 1
         n2
    
    Worteltrekken levert:  1992? < 4/3 1992


  5. a.
    Voor een vierkant met omtrek 4 is direct in te zien dat
         1           1                    1                  1
    a4 = -  en  r4 = - 2  en met c)  a8 = - (1 + 2)  en r8 = - (4 + 2 2)
         2           2                    4                  4
    

    b.
    Een regelmatige tweehoek met omtrek 4 kun je zien als een lijnstuk met lengte 2. r2 = 1 en a2 = 0.

    c.
    Voor de "taartpunten" uit een regelmatige n-hoek en 2n-hoek gelden de volgende formules:
    
          pi       2
    sin ( -- ) = ------    (1)
           n     n × rn
    
          pi     an
    cos ( -- ) = --        (2)
           n     rn
    
          pi       2
    tan ( -- ) = ------    (3)
           n     n × an
    
          pi        1
    sin ( -- ) = -------   (4)
          2n     n × r2n
    
          pi     a2n
    cos ( -- ) = --        (5)
          2n     r2n
    
          pi        1
    tan ( -- ) = -------   (6)
          2n     n × a2n
    
    Uit (1) en (3) volgt: (m.b.v. formules van sin en cos voor de dubbele hoek):
                    pi                    pi
              2(cos(--) + 1)       4 cos2(--)
                     n                    2n             2 
    an + rn = -------------- = ------------------- = --------- = 2 a2n
                        pi             pi      pi          pi
                n × sin(--)    2 n sin(--) cos(--)   n tan(--)
                         n             2n      2n          2n
    
    Evenzo volgt uit (1) en (4):
              2                 2                   1      r2n2
    rn = ----------- = ------------------- = r2n ------- = ----
                 pi            pi      pi            pi    a2n
         n × sin(--)   2 n sin(--) cos(--)       cos(--)
                  n            2n      2n            2n
    
    ofwel r2n = (rn a2n)

    d.
    Door voor de termen u0, u1, u2, u3, u4, ... achtereenvolgens a2, r2, a4, r4, a8, r8, a16, ... te nemen kunnen we volstaan met de limiet te bekijken van de tweede rij. Het is duidelijk dat de veelhoek zal naderen tot een cirkel waarbij rn en an beide naderen tot de straal van de cirkel met omtrek 4. Die straal en dus de limiet zal zijn 2/.


Naar de opgaven

Terug naar startpagina