1. V is de verzameling getallen {1, 2, 3, ..., 24, 25}

   a.

   Laat zien dat uit V een deelverzameling van 16 getallen gekozen kan worden waarvoor geldt dat het product van geen enkel tweetal getallen uit die deelverzameling het kwadraat van een geheel getal is.

   b.

   Laat zien dat elke deelverzameling van V met 17 of meer elementen een tweetal getallen bevat waarvan het product een kwadraat van een geheel getal is.

   ---

   

2. Gegeven is een driehoek ABC, hoek A = 90°. D is het midden van BC, F is het midden van AB, E het midden van AF en G het midden van FB. AD snijdt CE, CF en CG respectievelijk in P, Q en R.

   Bepaal de verhouding van de lengten van de lijnstukken PQ en QR.
   

   ---

3. Een rij getallen is als volgt gedefinieerd:

   u₁ = a , u₂ = b , u_n+1 = ½( u_n - u_n-1 ) voor n 2.

   Er bestaat een getal L waartoe de getallen u_n steeds dichter naderen naarmate n groter wordt. Toon dit aan en druk de waarde van L ( lim _n u_n ) uit in a en b.

   ---

   

4. In een vlak V ligt een cirkel C met middelpunt M. P is een punt dat niet op de cirkel C ligt.

   a.

   Bewijs dat AP ² + BP ² constant is bij vaste P voor elke middellijn AB van C.

   b.

   AB is weer een willekeurige middellijn van C en P is nu een variabel punt op een bol die het vlak V niet snijdt.

   
   Hoe moet P op de bol gekozen worden zodat AP ² + BP ² minimaal is?
   

   ---

5. Op een lijn zijn elf verschillende punten gegeven P₁, P₂, ..., P₁₁ .
   Voor elk tweetal punten geldt: afstand P_iP_j 1.
   Bewijs dat de som van alle (55) afstanden P_iP_j, 1 i j 11 kleiner is dan 30.

Terug naar startpagina